Программа курса

1. Основные понятия
   1. Понятие группы: группы, примеры групп, абелевы группы.
   2. Группа координатных преобразований в R³: вращения, трансляции, общие преобразования ISO(3).
   3. Группа вращений Шредингера: инвариантность гамильтониана, скалярные функции.
   4. Матричные представления групп: вырождение спектра энергии и базис представления группы уравнения Шредингера.
2. Структура групп
   1. Подгруппа, теорема о переупорядочивании.
   2. Классы: сопряженные элементы, сопряженные классы, их свойства.
   3. Инвариантные подгруппы.
   4. Смежные классы.
   5. Факторгруппа.
   6. Голоморфные и изоморфные отображения групп: определения, точное представление, ядро гомоморфизма, автоморфизмы (внутренние и внешние).
   7. Группы преобразований: транзитивность группы, однородное пространство, орбита, стационарная подгруппа.
   8. Прямое и полупрямое произведение групп: свойства, критерии, примеры.
3. Группы Ли
   1. Линейная группа Ли: определение, аналитичность групповых операций, примеры.
   2. Связные компоненты линейной группы Ли, связные подгруппы, связная линейная группа Ли.
   3. Компактные и некомпактные группы Ли: определения, примеры.
   4. Инвариантное интегрирование: унимодулярность, примеры.
4. Представления групп - основные идеи
   1. Определения.
   2. Эквивалентные представления.
   3. Унитарные представления: компактность и унитарность.
   4. Приводимые и неприводимые представления.
   5. Леммы Шура.
5. Группы Ли и алгебры Ли
   1. Генераторы.
   2. Коммутационные соотношения.
   3. Присоединенное представление.
   4. Простые и полупростые алгебры Ли.
6. Алгебра su(2)
   1. Метод старшего веса для построения неприводимых представлений.
   2. Разложение прямого произведения представлений в прямую сумму неприводимых представлений, правила сложения моментов.
7. Тензорные операторы и теорема Вигнера-Эккарта
   1. Определение тензорных операторов.
   2. Вычисление коэффициентов Клебша-Гордона.
   3. Теорема Вигнера-Эккарта.
8. Изоспин
   1. Нуклоны и изоспин.
   2. Представление генераторов su(2) в представлении вторичного квантования.
   3. Амплитуды рассеяния адронов и su(2)-инвариантность.
9. Корни и веса
   1. Подалгебра Картана, весовые вектора.
   2. Корневые вектора как веса присоединенного предсталения.
   3. Конечномерные представления, углы между весовыми и корневыми векторами.
   4. Коммутационные соотношения алгебры в терминах операторов Картана H_i и операторов Ea.
10. Алгебра su(3)
    1. Структурные константы.
    2. Веса определяющего представления.
    3. Корневая диаграмма.
11. Простые корни
    1. Положительность весовых и корневых векторов.
    2. Определение простых корней.
    3. Углы между простыми корнями.
    4. Свойства простых корней.
    5. Пример: su(3).
    6. Диаграммы Дынкина.
    7. Фундаментальные представления.
12. Продолжение изучения su(3)
    1. Фундаментальные представления su(3), их весовые диаграммы.
    2. Группа Вейля.
    3. Комплексные и вещественные представления.
    4. Весовые диаграммы низших представлений su(3).
13. Тензорные методы
    1. Тензорные произведения фундаментальных представлений su(3).
    2. Выделение неприводимых представлений.
    3. Инвариантные тензоры.
    4. Разложение Клебша-Гордона для низших представлений su(3).
    5. Размерность неприводимых представлений (n,m).
14. Алгебра su(n)
    1. Определяющее представление, его весовые вектора.
    2. Простые корни su(N), схема Дынкина.
    3. Фундаментальные представления.
15. Классические группы
    1. Схемы Дынкина для алгебры so(2n).
    2. Схемы Дынкина для алгебры so(2n+1).
    3. Схемы Дынкина для симплектической алгебры sp(2n).
16. Классификационная теорема
    1. Неразложимость системы простых корней.
    2. Разложимость схемы Дынкина и полупростота алгебры.
    3. П-системы простых корней и их свойства.
    4. Исключительные алгебры.

Литература

1. Ляховский В.Д., Болохов А.А. Группы симметрии и элементарные частицы, Изд-во ЛГУ, 1983.
2. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения, т.1, 2, М., 1980.
3. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления, М., 1970.
4. Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли, М., 1980.
5. Петрашень М.И., Трифонов Е.Д. Применение теории групп в квантовой механике, М., 1976.
6. Новожилов Ю.В. Введение в теорию элементарных частиц, М., 1972.
7. Нгуен Ван Хьеу Лекции по теории унитарной симметрии. М., 1967.
8. Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике, М., 1984.
9. Теория групп и элементарные частицы, сб. статей под ред. Д.Д. Иваненко, М.,1975.
10. Хамермеш М. Теория групп и ее применения к физическим проблемам, М., 1966.
11. Zuber J.-B. Invariances in Physics and Group Theory, Arxiv:1307.3970, 2013.
12. Hall B.C. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations, Springer, 2004.