Программа курса

Геометрические структуры на различных пространствах. Аффинная и проективная геометрии. Симплектическая и ортогональная геометрии.

Дифференциальные формы. Внешнее дифференцирование. Замкнутые и внешние формы. Связь с тензорным анализом.

Симплектическая форма, внутреннее и внешнее произведение векторов. Внутреннее и внешнее дифференцирование.

Фазовое пространство механики как пространство с симплектической структурой. Гамильтоновы векторные поля.

Первые интегралы. Скобка Пуассона. Тождество Якоби.

Канонические преобразования. Связь с симплектическими преобразованиями.

Оптико-механическая аналогия. Описание оптических систем при помощи матриц симплектической группы.

Действие как функция координат. Подход Гамильтона-Якоби. Теорема Лиувилля.

Симплектическая формулировка термодинамики. Симплектическая и контактная структура пространства состояний термодинамической системы.

Связь термодинамического и статистического описаний. Неравенства Бора-Розенфельда.

Кэлеровы многообразия. Комплексная, симплектическая и риманова структуры. Пространство состояний в квантовой механике как кэлерово пространство. Риманова метрика на пространстве состояний. Квантовая механика в формулировке Аштекара-Шиллинга.

Литература

В. И. Арнольд, «Математические методы классической механики». М.: Наука, 1989.

В. И. Арнольд, «Математические методы классической механики». М.: Наука, 1989.

В. И. Арнольд, А. Б. Гивенталь. Симплектическая геометрия. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 2000.

Э. Артин. Геометрическая алгебра. М., Наука, 1969.

V. Guillemin, S. Sternberg. Symplectic techniques in physics. Cambridge Univ. Press, 1984.

Г. Вилази. Гамильтонова динамика. — Перевод с англ. — М.: ИКИ и РХД, 2006.

S. Rajeev. A Hamilton-Jacobi Formalism for Thermodynamics // Annals Phys. 323, 2265-2285 (2008), arXiv:0711.4319.

A. Ashtekar, T. Schilling. Geometrical Formulation of Quantum Mechanics, arXiv:gr-qc/9706069.

В. А. Зорич. Математический анализ задач естествознания. М.: МЦНМО, 2017.