3 курс, 5 семестр

Лектор: профессор, доктор физ.-матем. наук Николай Викторович Антонов,
Кафедра физики высоких энергий и элементарных частиц, комн. 402.

Введение. Уравнения Максвелла. Сохранение заряда.
Потенциалы. Калибровочная инвариантность.

1. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Операции ротор, градиент, дивергенция. Уравнение непрерывности, закон сохранения заряда.
2. Теоремы Стокса и Остроградского-Гаусса. Уравнения Максвелла в интегральной форме.
3. Соотношение между дифференциальной и интегральной формой уравнений Максвелла при наличии поверхностей разрыва. Краевые условия (условия сшивания).
4. Переход от напряженностей к потенциалам. Уравнения для потенциалов.
5. Калибровочные условия. Калибровки Кулона и Лоренца, их допустимость и преимущества.

   Релятивистски-ковариантная форма электродинамики.
   Принцип наименьшего действия.
   Энергия и импульс электромагнитного поля.
   

    

6. Тензора на группах SO(3) и O(3). Операции с тензорами. Лемма о свертке известного с неизвестным. Пространственные отражения.
7. Тензорные поля на группе вращений. Тензорные свойства операции дифференцирования.
8. Преобразования Лоренца: определение, общие свойства, световой конус.
9. Преобразования Лоренца: деление на классы.
10. Собственные преобразования Лоренца: явный вид перехода к движущейся системе отсчета.
11. Релятивистский закон сложения скоростей. Одновременность, сокращение масштабов и растяжение времени.
12. Тензора на группе Лоренца. Ковариантные и контравариантные векторы. Тензорные свойства координаты, производной, метрического тензора и символа Кронекера. Свертки, верхние и нижние индексы.
13. Тензора на группе Лоренца. Свертки, верхние и нижние индексы. Смена типа тензора: опускание и поднятие индексов.
14. Тензора на группе Лоренца. Тензорная природа потенциалов и напряженностей.
15. Релятивистски-ковариантная формулировка уравнений Максвелла для потенциалов. Поперечность, калибровочная инвариантность и ковариантная запись уравнения непрерывности.
16. Релятивистски-ковариантная формулировка уравнений Максвелла для напряженностей. Дуальный тензор поля.
17. Преобразования потенциалов и напряженнoстей при переходе к движущейся системе отсчета.
18. Теоретическая механика систем с конечным числом степеней свободы: лагранжиан, принцип наименьшего действия, уравнения движения как уравнения Эйлера. Обобщение на случай сплошной среды.
19. Электродинамика с позиций теоретической механики сплошной среды. Лагранжиан, действие, уравнения Максвелла как уравнения Эйлера. Инварианты полей.
20. Теоретическая механика сплошной среды: тензор энергии-импульса для произвольного поля. Физический смысл его компонент, законы сохранения энергии и импульса. Симметризация тензора энергии-импульса.
21. Тензор энергии-импульса в электродинамике. Плотность энергии и плотность потока энергии. Симметризация тензора энергии-импульса.
22. Тензор энергии-импульса в электродинамике. Уравнение баланса энергии и импульса при наличии внешнего источника.
23. Релятивистский лагранжиан свободной частицы. Её импульс и энергия. Четырехмерная скорость, четырехмерный импульс.
24. Релятивистская кинематика распадов частиц.
25. Лагранжиан взаимодействия точечной релятивистской частицы с внешним полем. Явный вид, энергия и импульс для частицы в поле.
26. Дельта-функция Дирака. Свойства, дельта-функция со сложным аргументом. Плотности заряда и тока для движущейся точечной заряженной частицы.
27. Уравнения движения заряженной точечной частицы во внешнем поле. Сила Лоренца. Ковариантная запись уравнений движения.
28. Движение заряженной частицы в магнитном поле. Циклотронная частота.
29. Движение заряженной частицы в постоянном электрическом поле.

    
    Электро- и магнитостатика. Диэлектрики и магнетики. Мультипольные разложения.

     

30. Уравнения электро- и магнитостатики. Калибровочная инвариантность в статике. Общее решение уравнения Пуассона для потенциалов. Внутренняя согласованность такого решения для векторного потенциала.
31. Мультипольное разложение для скалярного потенциала. Малый параметр. Мультипольные моменты, их тензорные свойства, преобразование при сдвиге начала координат.
32. Мультипольное разложение для скалярного потенциала. Неприводимые мультипольные моменты. Мультипольное разложение в терминах неприводимых моментов.
33. Неприводимые мультипольные моменты для систем со сферической и осевой симметрией. Общий вид тензора квадрупольного момента для системы с осевой симметрией.
34. Мультипольное разложение для векторного потенциала в магнитостатике. Дипольный магнитный момент произвольной системы токов.
35. Электростатика: энергия системы зарядов во внешнем поле. Магнитостатика: механическая потенциальная энергия системы токов во внешнем заданном магнитном поле.
36. Магнитостатика: полная потенциальная энергия системы токов во внешнем магнитном поле.
37. Электростатика: собственная потенциальная энергия системы зарядов (энергия в собственном поле). Её выражение через напряженность поля.
38. Свободные и связанные заряды в диэлектриках. Вектор поляризации Р. Выражение связанных зарядов через поляризацию. Уравнения электростатики для диэлектриков.
39. Свободные и связанные токи в магнетиках. Вектор намагниченности М. Выражение связанных токов через намагниченность. Уравнения магнитостатики для магнетиков.
40. Условия сшивания на границе двух сред для диэлектриков и магнетиков.
41. Потенциалы точечного электрического и магнитного диполя. Сила, действующая на точечные диполи во внешних полях. Объемные силы в изотропных диэлектриках и магнетиках.
42. Термодинамика диэлектриков и магнетиков. Вычисление работы внешних сил, необходимой для бесконечно малого изменения поля.
43. Термодинамика диэлектриков и магнетиков. Плотность энергии поля для однородных и изотропных диэлектриков и магнетиков.
44. Метод разделения переменных для уравнения Лапласа в сферических координатах. Сферические гармоники. Общее решение уравнения Лапласа в сферических координатах.
45. Решение уравнения Лапласа в сферических координатах: диэлектрический шар и точечный заряд.

    
    Динамика. Излучение. Электромагнитные волны.

     

46. Динамика: свободные поля, плоские волны. Калибровка излучения. Решение свободного волнового уравнения для потенциалов и для напряженностей.
47. Функция Грина линейной дифференциальной операции. Фурье-преобразование дельта-функции. Формальное построение функции Грина линейной дифференциальной операции с постоянными коэффициентами методом Фурье-преобразования.
48. Построение функции Грина уравнения Пуассона с помощью преобразования Фурье.
49. Запаздывающая функция Грина волнового оператора. Формальное решение, доопределение, явное выражение.
50. Явное выражение для запаздывающей функции Грина волнового оператора. Запаздывающие потенциалы для произвольных источников.
51. Потенциалы произвольно движущегося точечного заряда (потенциалы Льенара-Вихерта). Вывод из общего выражения для запаздывающих потенциалов.
52. Мощность излучения и диаграмма направленности: общие выражения, явные выражения для точечного заряда.
53. Мощность излучения и диаграмма направленности для точечного заряда: нерелятивистский предел и коллинеарное движение.
54. Мощность излучения и диаграмма направленности для точечного заряда: коллинеарное движение. Направление, в котором интенсивность излучения максимальна.
55. Излучение локализованных источников: переход к гармоническим источникам, связь между полями Е и В для них, общее выражение для амплитуды векторного потенциала, дипольное приближение.
56. Излучение локализованных источников: мультипольное разложение векторного потенциала. Вклады электрического и магнитного дипольных и электрического квадрупольного моментов.
57. Гармонический дипольный излучатель: интенсивность излучения и диаграмма направленности.
58. Магнитный дипольный и электрический квадрупольный гармонические излучатели: интенсивность излучения и диаграмма направленности.
59. Линейная антенна с центральным возбуждением. Векторный потенциал, напряженности и интенсивность излучения.
60. Динамические уравнения Максвелла в среде: выражение связанных источников через поляризацию.
61. Динамические уравнения Максвелла в среде: явный вид, скорость света и плотность потока энергии в однородной и изотропной среде.

    
    Волноводы

     

62. Волноводы: краевые условия; общий вид, в котором ищется решение; уравнения для амплитуд. Параметр Q.
63. Волноводы: построение решения для Q не равного нулю. ТЕ и ТМ волны.
64. Волноводы: построение решения для Q=0. ТЕМ волны.
65. ТЕМ волна в коаксиальном кабеле. Напряженности, потенциалы. Неоднозначность "магнитного потенциала" Ф и однозначность "электрического потенциала" в общем случае неодносвязного сечения.
66. Уравнения для ТЕ и ТМ волн как задача на собственные значения: общее описание мод, их собственные волновые числа. Фазовая и групповая скорости волн.
67. Волноводы: ТЕ и ТМ волны в волноводе с прямоугольным односвязным сечением.
68. Волноводы: ТЕ и ТМ волны в волноводе с круглым односвязным сечением.

Литература

• А.Н. Васильев. Краткий курс лекций по классической электродинамике. Изд-во СПбГУ, 2006. (Вышло новое издание 2009г.!)
• Ю.В. Новожилов и Ю.А.Яппа. Электродинамика. Изд-во "Наука", М., 1978.
• Дж. Джексон. Классическая электродинамика. Изд-во "Мир", М., 1965.
• Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля. (Теоретическая физика, т. 2) Изд-во "Наука", М., 1988.
• Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Механика. Электродинамика (Краткий курс теоретической физики, т. 1) Изд-во "Наука", М., 1969.

   

  Дополнительная Литература

• Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред (Теоретическая физика, т. 8) Изд-во "Наука", М., 1988.
• И.Е. Тамм. Основы теории электричества. Изд-во "Наука", М., 1989.
• В.А. Фок. Теория пространства, времени и тяготения. Изд-во "Физматлит", М., 1961.

   

  Электричество и магнетизм (Курс общей физики - вспомнить)

• Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Электричество и магнетизм (т.5), Электродинамика (т.6), Физика сплошных сред (т.7). Изд-во "Мир", М.
• Э. Парселл. Электричество и магнетизм. (Берклеевский курс физики, т.2). Изд-во "Мир", М.
• Д.В. Сивухин. Электричество (Общий курс физики. Т.3) М.