Программа курса

1. Пространство Минковского.
   Симметрия пространства и времени классической механики - группа Галилея. Поиск новой симметрии пространства-времени с помощью выбора выражения для 4-мерного интервала. Релятивистская симметрия пространства-времени - группы Лоренца и Пуанкаре, пространство Минковского. Возможные типы векторных представлений, контравариантные и ковариантные вектора, тензоры на группе Лоренца. Метрика пространства Минковского.
   
   
2. Пространство-время в общей теории относительности.
   Равенство гравитационной и инертной масс. Принцип эквивалентности. Мировая линия равноускоренной частицы в пространстве Минковского. Криволинейные координаты. Симметрия пространства-времени в ОТО - группа диффеоморфизмов, принцип общей относительности. Векторы и тензоры на группе диффеоморфизмов, касательное пространство, метрика как способ описания гравитационного поля. Геометрический смысл метрики.
   
   
3. Риманово пространство.
   Гладкое многообразие, афинная связность, ковариантная производная. Закон преобразования связности, кручение, постулат отсутствия кручения. Коммутатор двух ковариантных производных, тензор кривизны Римана-Кристоффеля. Геометрический смысл тензора кривизны. Тождества Риччи и тождества Бьянки. Связь метрики и связности - ковариантная постоянность метрики. Выражение связности через метрику, символы Кристоффеля. Понятие риманова пространства. Полностью антисимметричные тензоры ранга размерности пространства в римановом пространстве. Свойства симметрии тензора кривизны. Тензор Риччи. Скалярная кривизна, тензор Эйнштейна. Двумерная поверхность в 3-мерном пространстве как пример риманова пространства. Метрика, связность, средняя кривизна, гауссова кривизна, их связь с тензором кривизны.
   
   
4. Движение частиц в искривленном пространстве.
   Движение частиц в пространстве Минковского и в римановом пространстве как следствия принципа наименьшего действия. Геодезические линии, уравнения геодезической. Собственное время наблюдателя, канонический параметр линии, светоподобная геодезическая. Локально-геодезическая система координат. Возможность сделать связность равной нулю вдоль произвольной линии. Полугеодезическая (синхронная) система координат. Риманово пространство близкое к плоскому пространству, идея разложения по малому отклонению. Движение нерелятивистской частицы в слабом гравитационном поле, гравитационных потенциал. Гравитационное красное смещение, мысленный и реальный эксперименты.
   
   
5. Уравнения гравитационного поля.
   Инвариантный объем, скалярная и тензорная плотности. Действие гравитации Эйнштейна-Гильберта, лямбда-член. Приведение действия Эйнштейна-Гильберта к виду с только первыми производными по времени. Вывод уравнений Эйнштейна с материей в виде точечных частиц. Электродинамика в присутствии гравитационного поля. Ковариантность тензора напряженности электромагнитного поля. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Ковариантное сохранение тензора энергии-импульса.
   
   
6. Тензор энергии-импульса.
   Законы сохранения энергии и импульса в плоском пространстве как следствия однородности времени и пространства. Тензор энергии-импульса, получаемый по теореме Нетер для пространства Минковского, произвол его определения и симметричная форма. Вариация формы тензорной функции. Минимальное взаимодействие материи с гравитацией, равенство симметричной формы нетеровского тензора энергии-импульса и получаемого варьированием по метрике. Физический смысл компонент тензора энергии-импульса, плотность энергии и давление. Тензор энергии-импульса ультрарелятивистской материи. Энергетические условия. Законы сохранения в присутствии гравитации, случаи пространственно-замкнутой вселенной и островного распределения материи. Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля.
   
   
7. Решения уравнений Эйнштейна, случай слабого поля.
   Тензор Вейля, конформно-плоская метрика. О классификации точных решений уравнений Эйнштейна, типы по Петрову. Уравнения Эйнштейна в случае слабого поля, линеаризация. Гармонические координаты, калибровочное условие в линеаризованной теории. Аналогия с электродинамикой, отличие в положительности источника. Сила Ньютона, сравнение с законом Кулона. Условия ньютоновского предела. Гравитационные волны, поперечность и число поляризаций слабой гравитационной волны. Экспериментальное состояние наблюдений гравитационных волн.
   
   
8. Гравитация в случае сферической симметрии.
   Точное решение вакуумных уравнений Эйнштейна в сферически-симметричном случае. Решение Шварцшильда, теорема Биркгофа, применимость термина "статичность решения". Вращение перигелия орбит планет и отклонение лучей света для метрики Шварцшильда. Сравнение с наблюдениями, гравитационное линзирование. Экспериментальные ограничения на модификации ОТО. Кривые вращения галактик, темная материя.
   
   
9. Черные дыры.
   Гравитационный коллапс, горизонт событий. Черная дыра, аккреционный диск. Бесконечное время падения на горизонт с точки зрения внешнего наблюдателя. Космические черные дыры - предел Чандрасекара, предел Оппенгеймера-Волкова. Сверхмассивные черные дыры. Вечная черная дыра, нефизичность координатной сингулярности на горизонте, сжимающиеся и расширяющиеся координаты Финкельштейна-Эддингтона. Координаты Крускала, центральная сингулярность. Диаграмма Крускала, белая дыра, мост Эйнштейна-Подольского и параллельная вселенная, падение на центр. Заряженная черная дыра - решение Райсснера-Нордстрема, экстремальная заряженная черная дыра, космическая цензура. Диаграммы Пенроуза для пространств Шварцшильда и Райсснера-Нордстрема. Вращающаяся черная дыра - решение Керра-Ньюмана. Теорема об "отсутствии волос". Излучение Хокинга и испарение черных дыр. Кротовые норы.
   
   
10. Космологические следствия.
    Симметрия Фридмана, три типа мира Фридмана. Уравнения Фридмана, случай необходимости учета уравнения второго порядка. Статические решения. Расширение вселенной, постоянная Хаббла, красное смещение. Известные виды материи, их уравнения состояния. Разные эпохи истории вселенной - преобладание разных видов материи, схема смены эпох. Решения уравнений Фридмана для разных типов материи. Параметр замедления расширения, ускоренное расширение и темная энергия, возраст вселенной. Большой взрыв и инфляция.

Литература

Основная:

1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, "Теоретическая физика", т.2: "Теория поля". М.:Наука, 1988.
2. В.А. Фок, "Теория пространства, времени и тяготения", М.:УРСС, 2007.
3. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, "Гравитация". М.:Мир, 1977.
4. П.К. Рашевский, "Риманова геометрия и тензорный анализ", М.:УРСС, 2006.
5. В. Паули, "Теория относительности", М.:Наука, 1991.

Дополнительная:

1. С. Хокинг, Дж. Эллис, "Крупномасштабная структура пространства времени", М.:Мир, 1977.
2. А.З. Петров, "Новые методы в общей теории относительности", М.:Наука, 1966.
3. "Точные решения уравнений Эйнштейна", под ред. Э. Шмутцера, М.:Энергоиздат,1982.
4. И.Д. Новиков, В.П. Фролов, "Физика черных дыр", М.:Наука, 1986.
5. Д.С. Горбунов, В.А. Рубаков, "Введение в теорию ранней вселенной. Теория горячего Большого Взрыва", М.:УРСС, 2009.