Квантовые симметрии и интегрируемость (к.ф.-м.н., доц. А.А. Назаров)

 

Программа курса

  1. Модель Изинга в двух измерениях: фазовые переходы, параметр порядка, критическая точка, критические индексы
  2. Высокотемпературное и низкотемпературное разложение в двумерной модели Изинга
  3. Решение одномерной модели Изинга, фермионы, решение Онзагера-Кауфман для двумерной модели Изинга
  4. Решение Вдовиченко модели Изинга без внешнего поля
  5. Решение Бакстера для двумерной модели Изинга: соотношение звезда-треугольник, коммутативность трансфер-матрицы, спектральная кривая
  6. Обобщение подхода Бакстера на другие модели: R-матрица, уравнение Янга-Бакстера, правило льда
  7. Вершинные модели, модель димеров
  8. Спиновые цепочки, алгебраический анзац Бете
  9. Скейлинг и конформная инвариантность, критическое поведение, ренормгруппа
  10. Напоминание про классические статистические модели, связь с теорией поля, квантовые статистические модели, симметрии, теорему Нётер
  11. Глобальная конформная инвариантность в произвольном числе измерений
  12. Тождества Уорда для конформных преобразований
  13. Двухточечная и трехточечная функции
  14. Общий вид четырехточечной функции в конформной теории, формфактор, конформные блоки
  15. Конформная инвариантность в двух измерениях
  16. Локальная конформная инвариантность
  17. Радиальное квантование и алгебра Вирасоро.
  18. Конформный бутстрап
  19. Правила слияния, fusion-алгебра
  20. Минимальные унитарные модели конформной теории поля. Детерминант Каца, замыкание операторной алгебры в минимальных моделях.
  21. Идентификация минимальных с точно решаемыми моделями статистической механики
  22. Состояния с нулевой нормой и дифференциальные уравнения на корреляционные функции в минимальных моделях, четырехточечная функция
  23. Представление кулоновского газа, экранирующие операторы, решение уравнения для четырехточечной функции в виде контурных интегралов
  24. Конформная теория поля с границей, сравнение четырехточечной функции с вероятностью прохождения доменной стенки в модели Изинга и кластера в модели перколяции
  25. Интегрируемость и интегриуемые деформации двумерной конформной теории поля
  26. Конформная инвариантность и конформный бутстрап в теории поля с размерностью больше двух
  27. Конформная инвариантность в теории Янга-Миллса
  28. N=4 SYM: конформная инвариантность и другие симметрии
  29. Аномальные размерности в N=4 SYM и интегрируемость
  30. Интегрируемость и AdS/CFT соответствие

Контрольные вопросы

  1. Высокотемпературное и низкотемпературное разложение в двумерной модели Изинга, вычисление критической температуры
  2. Решение Вдовиченко для двумерной модели Изинга без внешнего поля
  3. R-матрица, уравнение Янга-Бакстера и коммутативность трансфер-матрицы в шестивершинной модели
  4. Модель димеров: ориентация Кастелейна, вычисление статсуммы и решение модели Изинга
  5. Спиновые цепочки, алгебраический анзац Бете, спектр гамильтониана для XXX-цепочки
  6. Скейлинг и конформная инвариантность, критическое поведение, ренормгруппа
  7. Глобальная конформная инвариантность в произвольном числе измерений
  8. Тождества Уорда для конформных преобразований
  9. Двухточечная и трехточечная функции в конформной теории поля в произвольном числе измерений. Общий вид четырехточечной функции в конформной теории, формфактор, конформные блоки
  10. Конформная инвариантность в двух измерениях: локальная конформная инвариантность, алгебра Витта
  11. Алгебра Вирасоро, модули Верма, структура гильбертова пространства
  12. Конформный бутстрап, уравнения для конформных блоков и коэффициентов операторного разложения
  13. Сингулярные векторы и приводимые представления алгебры Вирасоро. Детерминант Каца. Минимальные модели конформной теории поля
  14. Дифференциальные уравнения на корреляционные функции, вычисления четырехточечной функции в конформной теории поля, соответствующей модели Изинга
  15. Интегрируемость и интегриуемые деформации двумерной конформной теории поля, интегрируемые деформации минимальных моделей

Литература

  1. P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Senechal, Conformal field theory. Springer, 1997.
  2. P. H. Ginsparg, “APPLIED CONFORMAL FIELD THEORY,” arXiv:hep-th/9108028.
  3. А. Замолодчиков and А. Замолодчиков, “Конформная теория поля и критические явления в двумерных системах,” ИТЭФ, ЦНИИатоминформ, М 1990 (1989) . A. Zamolodchikov, Conformal field theory and critical phenomena in two-dimensional systems. Harwood Academic Pub, 1989.
  4. A. Belavin, A. Polyakov, and A. Zamolodchikov, “Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory,” Nuclear Physics B241 (1984) 333–380.
  5. П. Голод and А. Климык, Математические основы теории симметрии. Научн.-изд. центр «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевск, 2001.
  6. А. Белавин, А. Кулаков, and Р. Усманов, Лекции по теоретической физике. М.: МЦНМО, 2001.
  7. S. Ma, Современная теория критических явлений. "Mir 1980.
    S. Ma, Modern theory of critical phenomena. Westview Press, 2000.
  8. А. Васильев, Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. Изд-во Петербург. ин-та ядер. физики (ПИЯФ) СПб., 1998.
    A. N. Vasilev, The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics. Chapman and Hall, St. Petersburg, 1998.
  9. F. Ravanini, “Finite size effects in integrable quantum field theories,” arXiv:hep-th/0102148.
  10. A. Belavin and G. Tarnopolsky, “Introduction to string theory and conformal field theory,” Physics of Atomic Nuclei 73 (2010) 848–877.
    http://dx.doi.org/10.1134/S1063778810050108. 10.1134/S1063778810050108.
  11. M. Walton, “Affine Kac-Moody algebras and the Wess-Zumino-Witten model,” (1999) , arXiv:hep-th/9911187.
  12. M. Gaberdiel, “An introduction to conformal field theory,” Reports on Progress in Physics 63 (2000) no. 4, 607–668, hep-th/9910156.
  13. L. Faddeev, “How algebraic bethe ansatz works for integrable model,” arXiv preprint hep-th/9605187 (1996) .
  14. N. Beisert, C. Ahn, L. Alday, Z. Bajnok, J. Drummond, L. Freyhult, N. Gromov, R. Janik, V. Kazakov, T. Klose, G. Korchemsky, C. Kristjansen, M. Magro, T. McLoughlin, J. Minahan, R. Nepomechie, A. Rej, R. Roiban, S. Sch¨fer-Nameki, C. Sieg, M. Staudacher, A. Torrielli, A. Tseytlin, P. Vieira, D. Volin, and K. Zoubos, “Review of ads/cft integrability,” Letters in Mathematical Physics 99 (2012) no. 1-3, 3–32, arXiv:1012.3982. http://dx.doi.org/10.1007/s11005-011-0529-2.
  15. J. Campuzano, M. Foster, G. Jennings, R. Willis, and W. Unertl, “Au(110)(1× 2)-to-(1× 1) phase transition: a physical realization of the two-dimensional Ising model,” Physical Review Letters 54 (1985) no. 25, 2684–2687.
  16. A. M. Polyakov, “Conformal symmetry of critical fluctuations,” JETP Lett. 12 (1970) 381–383.
  17. S. Smirnov, “Conformal invariance in random cluster models. I. Holomorphic fermions in the Ising model,” (2007) , 0708.0039.
    S. Smirnov, “Towards conformal invariance of 2D lattice models,” in Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Madrid, vol. 2, pp. 1421–1452. 2006.
    S. Smirnov, “Critical percolation in the plane: Conformal invariance, Cardy’s formula, scaling limits,” Comptes Rendus de l’Acad´mie des Sciences-Series I-Mathematics 333 (2001) no. 3, 239–244.
  18. J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless, “Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems,” Journal of Physics C:Solid State Physics 6 (1973) no. 7, 1181.http://stacks.iop.org/0022-3719/6/i=7/a=010.
  19. A. Zamolodchikov, “’Irreversibility’of the Flux of the Renormalization Group in a 2-D Field Theory,” JETP Lett 43 (1986) no. 730-732, 9.