Программа:
- Общие понятия теории групп: конечные и непрерывные группы, характеры, групповая алгебра, ассоциативные алгебры и алгебры Ли. Представления, приводимые, разложимые, неприводимые, неразложимые. Разрешимые подалгебры. Группа перестановок, диаграммы Юнга.
- Теория представлений групп Ли. Конечномерные и бесконечномерные представления. Характеры, теорема Питера-Вейля.
- Структурная теория и классификация простых комплексных алгебр Ли. Подалгебра Картана, корневая система, базис Шевалле, матрица Картана. Веса, весовые подпространства, универсальная обертывающая алгебра, неприводимые конечномерные представления, модули Верма, параболические модули Верма. Категория О. Формула знаменателя, формула Вейля для характеров.
- Двойственность Шура-Вейля, двойственности Хау, теория инвариантов. Формула Фробениуса, формула крюков. Диаграммы Юнга, обобщенные диаграммы Юнга, схемы Гельфанда-Цетлина, лемма Линдстрёма-Гесселя-Виенно, полиномы Шура, полиномы Макдональда. Асимптотическая теория представлений и детерминантные точечные процессы.
- Алгебра Клиффорда. Группы Pin и Spin. Группы вращений. Спинорные представления.
- Вещественные формы комплексных алгебр Ли. Бесконечномерные представления, основная и дополнительные серии.
- Супералгебры Ли, представления супералгебр, двойственности Хау для супеалгебр.
- Алгебры Каца-Муди, алгебра токов и аффинные алгебры Ли, структурная теория для аффинных алгебр Ли, категория O для представлений аффинных алгебр Ли, тета-функции и модулярные формы.
- Введение в квантовые группы: алгебры Хопфа, янгианы, уравнение Янга-Бакстера, алгебраический анзац Бете. Кристаллические базисы.
Литература:
- Ляховский, Болохов "Группы симметрии и элементарные частицы", Л.1983
- Голод, Климык "Математические основы теории симметрии",
- James E. Humphreys, "Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O"
- Shahn Majid, "Foundations of quantum group theory", Cambridge University Press (1995)
- Chari, Presley "A Guide to Quantum Groups"
- Wakimoto "Lectures on Infinite Dimensional Lie Algebra"
- Wakimoto "Infinite Dimensional Lie Algebra"
- V. Kac, Raina, "Highest-weight representations of infinite-dimensional Lie algebras"
- V. Kac "Infinite dimensional Lie algebras. An introduction"
- A. Molev "Yangians and Classical Lie Algebras"
- P. Di Francesco et al, "Conformal Field Theory"
- James E. Humphreys, "Introduction to Lie algebras and representation theory"
- James E. Humphreys, "Reflection groups and Coxeter groups", Cambridge University Press(1990)
