Программа курса

1. Поля и свертки.
   Общие принципы построения классической и квантовой теорий. Принцип Гамильтона в классической механике и метод канонического квантования. Коммутирующие и антокоммутирующие поля. Классические и квантовые свободные поля. Нормальное произведение полевых операторов.
2. Теоремы Вика и их функциональные формулировки.
   Теорема Вика для простого произведения. Определения симметризованного и упорядоченного по времени произведений. Теорема Вика для симметризованного операторного функционала. Формула Вика-Хори для упорядоченного по времени операторного функционала. Виковское и дайсоновское Т-упорядочение.
3. S-матрица и функции Грина.
   Основные определения. Оператор развития в представлении взаимодействия. Запись функций Грина в представлении взаимодействия. Проблема наличия производных полей по времени во взаимодействии. Производящие функционалы функций Грина и коэффициентных функций S-матрицы.
4. Диаграммная техника теории возмущений.
   Построения ряда теории возмущений. Некоторые понятия теории графов. Симметрийные коэффициенты. Рекуррентные соотношения для симметрийных коэффициентов. Представление теории возмущений для экспоненциального взаимодействия майеровскими графами. Теория возмущений для взаимодействия Юкавы. Диалгаммная техника для моделей с парным взаимодействием. Связность логарифма порождающих функционалов функций Грина и S-матрицы.
5. Унитарность S-матрицы в рамках теории возмущений.
   Операция сопряжения для S-матрицы. Формальная унитарность S-матрицы вне поверхности масс. Доказательство унитарности S-матрицы для локального по времени эрмитового взаимодействия полей в рамках формализма порождающих функционалов.
6. Функциональные интегралы в квантовой теории поля.
   Коннечнокнократные Гауссовы интегралы. Интегралы на грассмановой алгебре. Гауссовы интегралы для грасссмановых переменных. Гауссовы интегралы для в теории поля. Представления производящих функционалов функций Грина и S-матрицы функциональными интегралами. Метод стационарной фазы для функционального интеграла и разложение по числу петель. Теорема Доминисиса-Энглерта.
7. Формализм уравнений в вариационных производных.
   Вывод уравнения Швингера и уравнений связи для порождающего функционала функций Грина. Линейные уравнения для связных функций Грина. Диаграммные представления итерационных решений.
8. Формализм функциональных преобразований Лежандра и вариационная.
   формулировка задач квантовой теории поля и статистической физики. Преобразования Лежандра для порождающего функционала связных функций Г рина квантово-волевых моделей с полиномиальным действием. Уравнения движения для первого преобразование Лежандра - эффективного действия и их итерационное решение. Доказательство 1-неприводимости диаграмм эффективного действия.
9. Метод собственного времени для задач квантовой теории поля и статистической физики.
   Задача решения линейного неоднородного дифференциального уравнения в частных производных и проблема построения оператора эволюции в "собственном" времени. Представление оператора эволюции функциональным интегралом и примеры его вычислений для конкретных систем.
10. Квантово-полевая теория и теория случайной среды.
    Представление решения стохастического дифференциального уравнения в виде функционального интеграла и формулировка эквивалентной квантово-полевой моделью. Квантово-полевая версия модели Вайлда турбулентного течения вязкой жидкости.

Литература

1. А.Н.Васильев "Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике". Издательство Ленинградского университета. Ленинград, 2 1976.
2. А.Н.Васильев "Квантово-полевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике" Издательство Петербургского института ядерной физики (ПИЯФ), Санкт-Петербург, 1998
3. Zinn-Justin J., "Quantum Field Theory and Critical Phenomena", Clarendon Press, Oxford , 1993