Программа курса
1. Введение
Различные способы описания гравитационного взаимодействия и параллели между описанием гравитации и калибровочных теорий. Каноническое описание и подходы к квантованию гравитации.
2. Риманово пространство как расслоение с горизонтальным слоем
Гладкое многообразие и координатные системы на нем, понятие карты и атласа. Определение касательных контра- и ковариантных векторов в данной точке, касательное пространство тензоров. Понятие расслоения; база, слой и проекция; сечение расслоения. Тривиальные и локально тривиальные расслоения. Расслоение с горизонтальным слоем. Введение метрики. Введение параллельного переноса, афинная связность, ковариантная производная, контурный интеграл. Тензоры кручения и кривизны. Согласование связности и метрики при наличии кручения, выражение для связности в виде суммы римановой связности и тензора конторсии. Риманово пространство. Выбор сигнатуры, связь между величинами в разных сигнатурах.
Действие Эйнштейна-Гильберта и уравнения Эйнштейна. Эквивалентное описание ОТО в формализме Гильберта-Палатини. Полиномиальность действия по гравитационным переменным и важность отсутствия связности в действии материи. Интегрирование по подмногообразиям риманова пространства, форма объема подмногообразия и тензорный элемент объема. Обобщенная теорема Стокса. Кратко о языке внешних форм: p-формы и p-векторы, внешнее произведение, операция дуальности, внешнее дифференцирование и его свойства, короткая запись обобщенной теоремы Стокса.
3. Расслоение с вертикальным слоем, связь с теорией Янга-Миллса
Расслоение с вертикальным слоем, структурная группа расслоения. Калибровочное преобразование. Представления в случае матричных групп. Введение параллельного переноса, предположение о разложении связности по генераторам калибровочной группы, калибровочная связность. Ковариантная производная, совпадение калибровочной связности с калибровочным полем теории Янга-Миллса. Аналог тензора кривизны в случае вертикального слоя, его совпадение с напряженностью поля Янга-Миллса. Тождества Бьянки для напряженности, его совпадение с частью уравнений Максвелла для случая абелевой калибровочной группы. Действие теории Янга-Миллса. Петля Вильсона как аналог контурного интеграла.
4. Реперное описание гравитации
Расслоение с горизонтальным и вертикальным слоями согласованной размерности, соответствующая ковариантная производная. Понятие репера, параллелизуемость многообразия. Постулат ковариантной постоянности репера как условие согласования координатной и калибровочной связностей. Первое и второе структурные уравнения Картана, связь между тензором кривизны и напряженностью калибровочного поля. Проблема введения спиноров в искривленном пространстве, идея ее решения путем перехода к калибровочной группе Лоренца. Антисимметричность калибровочной связности, ковариантная производная для произвольного представления калибровочной группы Лоренца. Действие спинорного поля и уравнение Дирака в искривленном пространстве. Ковариантная постоянность универсальных тензоров.
Идея описания гравитации в терминах репера: выражение метрики через репер, число степеней свободы и симметрии подхода. Уравнение связи между антисимметричной калибровочной связностью и кручением. Реперное описание гравитации при постулировании отсутствия кручения. Уравнения движения и тождества для них, симметричность тензора энергии-импульса при выполнении уравнений движения материи.
Реперное описание гравитации с независимой антисимметричной калибровочной связностью. Полиномиальность гравитационной части действия. Отсутствие кручения как следствие уравнений движения теории. Важность отсутствия калибровочной связности в действии материи, возможность порождения кручения материей. Идеи телепараллельной гравитации, независимость переноса вектора от пути.
5. Канонический формализм для гравитации в терминах метрики
3+1-разбиение для ОТО, 3х-мерная метрика. Характеристики поверхности постоянного времени, вторая квадратичная форма. Формула связи 4х-мерной скалярной кривизны с 3х-мерной скалярной кривизной. Выбор действия гравитации, возможность перехода к не являющемуся полностью инвариантным эквивалентному действию, содержащему только первые производные. Запись действия гравитации в виде суммы действия АДМ и поверхностного члена. Анализ этого поверхностного члена: отбрасывание производных по времени в лагранжиане как каноническое преобразование, случаи 3х-мерно замкнутой вселенной и островного распределения материи. Проблема корректности вариационного принципа для действия Эйнштейна-Гильберта, действие гравитации Гиббонса-Хокинга-Йорка, особенности поверхностного члена, отличающего его от действия АДМ. Независимые переменные АДМ, выражение в них для второй квадратичной формы. Метрика гиперпространства Уилера-Девитта. Запись действия гравитации в терминах переменных АДМ с явным выделением производных по времени.
Канонический формализм для теории поля с калибровочной симметрией на примере свободной электродинамики. Гамильтонов формализм Дирака для систем со связями, первичные и вторичные связи, связи 1ого и 2ого рода. Связи 1ого рода как генераторы калибровочных преобразований. Решение связей путем исключения переменных в лагранжиане первого порядка, дополнительные условия при решении связей 1ого рода. Возможность избежать решения связей 1ого рода при квантовании.
Скобки Пуассона, первичные и вторичные связи для гравитации в переменных АДМ. Решение первичных связей, обобщенный гамильтониан АДМ. Не исчезающий при выполнении связей вклад в гамильтониан в случае островного распределения материи. Эквивалентность АДМ-связей части уравнений Эйнштейна. Вариация формы функции, геометрический смысл действия линейных по обобщенным импульсам АДМ-связей на составленные из координат и импульсов величины. Замыкание классической алгебры АДМ-связей – вычисление явного вида скобок Пуассона связей друг с другом. Альтернативные переменные Фаддеева-Попова.
6. Квантование теории гравитации, описываемой в терминах метрики
6.1 Каноническое квантование
Гамильтонова форма уравнений Эйнштейна. Операторное квантование: объявление обобщенных координат и импульсов операторами, канонические коммутационные соотношения, наложение связей 1ого рода на вектора состояния. Проблема замыкания квантовой алгебры связей. Реализация гильбертова пространства состояний в виде волновых функционалов от 3х-мерной метрики. Вид волновых функционалов, решающих линейные по обобщенным импульсам АДМ-связи, задача решения гамильтоновой АДМ-связи как уравнение Уилера-Девитта. Отсутствие динамики по обычному времени для гравитации в представлении Шредингера. Квантование релятивистской частицы как пример отсутствия динамики по одному времени с возможностью выбора другого, по которому динамика есть. Проблема выбора времени при квантовании гравитации, возможная роль материи, упрощение в случае симметрии Фридмана.
6.2 Задача об S-матрице и теория возмущений
Запись оператора развития в виде функционального интеграла, априори унитарная S-матрица в виде гамильтонова функционального интеграла по каноническим переменным. Переход к лагранжеву функциональному интегралу путем интегрирования по обобщенным импульсам. Гамильтонов функциональный интеграл при наличии связей 1ого рода, независимость действия определяемой им S-матрицы на физические вектора состояния от множителей Лагранжа. Функциональный интеграл по каноническим переменным для ОТО в переменных АДМ. Интегрирование по обобщенным импульсам для гравитации, переход к лагранжеву функциональному интегралу по 3х-мерной метрике. Явная независимость соответствующей S-матрицы от множителей Лагранжа Ni.
Переход к интегрированию по 4х-мерной метрике с введением дельта-функций, соответствующих калибровке полугеодезических координат, тривиальность детерминанта Фаддеева-Попова для этой калибровки. Проблема выбора меры интегрирования для функционального интеграла по метрике. Переход к калибровке гармонических координат, вычисление детерминанта Фаддеева-Попова для такой калибровки. "Поднятие в экспоненту" неэкспоненциальных вкладов в функциональный интеграл: фиксирующего калибровку, детерминанта Фаддеева-Попова, обеспечивающего правильность меры функционального интегрирования.
Переход к теории возмущений: выбор фона для метрики и параметра разложения, планковская длина как константа связи квантовой теории гравитации. Неполиномиальность действия взаимодействия и бесконечное число вершин при формулировке теории в терминах только метрики. Возможность перехода к эквивалентному на квантовом уровне описанию в терминах независимых метрики и связности – формализму Гильберта-Палатини с полиномиальным действием. Выделение свободной части действия, правила Фейнмана – пропагаторы и вершины взаимодействия, ультрафиолетовое поведение пропагатора. Расходящиеся диаграммы с произвольным числом внешних линий, необходимость бесконечного числа контрчленов. Неперенормируемость теории, ее связь с размерностью константы взаимодействия.
Перенормировка в однопетлевом приближении и однопетлевая ультрафиолетовая конечность S-матрицы для ОТО без материи, отсутствие аналогичного поведения в более высоких порядках теории возмущений. Модификация ОТО в виде квадратичной по тензору кривизны теории гравитации: общий вид действия, перенормируемость и проблема духовых степеней свободы. Идеи "асимптотической безопасности" Вайнберга как путь появления предсказательной силы в неперенормируемой теории.
7. Канонический формализм и квантование для гравитации в терминах репера, петлевая гравитация
3+1-разбиение для реперного подхода к гравитации, сужение калибровочной группы SO(1,3) до SO(3) путем наложения ограничения на репер. Выбор обобщенных координат. Выражение для второй квадратичной формы поверхности постоянного времени, запись действия с явным выделением производных по времени. Первичные и вторичные связи для реперной гравитации. Решение первичных связей, обобщенный гамильтониан. Геометрический смысл действия линейных по обобщенным импульсам связей на составленные из координат и импульсов величины, замыкание классической алгебры связей.
Запись 3х-мерной калибровочной связности в терминах обобщенных координат. Переход к переменным Аштекара как каноническое преобразование, параметр Иммирци, обобщенная координата Аштекара как связность. Операторное квантование для реперной гравитации в переменных Аштекара, реализация гильбертова пространства состояний в виде волновых функционалов, гамильтониан и связи петлевой гравитации. Действие линейных по обобщенным импульсам связей на волновой функционал. Решение этих связей в виде комбинации функций от петель Вильсона. Явный вид связей в переменных Аштекара, проблема решения гамильтоновой связи.
Упрощение гамильтоновой связи при мнимом значении параметра Иммирци, необходимость перехода к комплексным каноническим переменным и проблема выполнения условия вещественности исходного обобщенного импульса. Обобщенная координата Аштекара при упрощающем значении параметра Иммирци как самодуальная или антисамодуальная часть 4х-мерной калибровочной связности. Проблема зависимости результатов квантовой теории от значения параметра Иммирци.
Литература
Основная:
Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, "Гравитация". М.:Мир, 1977.
Н.П. Коноплева, В.Н. Попов. "Калибровочные поля". М: Эдиториал УРСС, 2000.
С. Хокинг, В. Израэл (ред.). "Общая теория относительности". М:Мир, 1983.
S. Carlip, "Quantum Gravity: a Progress Report". Rept. Prog. Phys. v.64, pp.885-942, 2001, arXiv:gr-qc/0108040.
В.А. Франке, С.Н. Манида, С.А. Пастон, Е.В. Прохватилов, "Quantization of gravitation I. Metric tensor approach", Учебно-методическое пособие для студентов физического факультета СПбГУ. http://hep.phys.spbu.ru/files/posob1rus.pdf
В.А.Франке,С.Н.Манида, С.А.Пастон, Е.В.Прохватилов, "Quantization of gravitation II. Tetrad approach". Учебно-методическое пособие для студентов физического факультета СПбГУ. http://hep.phys.spbu.ru/files/posob2.pdf
Дополнительная:
V.N. Ponomarev, A.O. Barvinsky, Yu.N. Obukhov. "Gauge approach and quantization methods in gravity theory". М. : Nauka, 2017. http://en.ibrae.ac.ru/pubtext/111/
Р.Ф. Фейнман, Ф.Б. Мориниго, У.Г. Вагнер. "Лекции по гравитации". М:Янус-К, 2000.
Л.Д. Фаддеев, "Проблема энергии в теории тяготения Эйнштейна", УФН, том 136 (1982), вып. 3, стр. 435.
В.А. Фок, "Теория пространства, времени и тяготения", М.:УРСС, 2007.
T. Christodoulakist, J. Zanelli, Class. Quantum Grav. 4 (1987) 851-867.
Д. Брилл, Р. Гоуди. "Квантование общей теории относительности", статья 2 в сб. "Квантовая гравитация и топология", под ред. Д. Иваненко. М.:Мир, 1973.
